Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。
1.光學(xué)傅立葉變換
在物理光學(xué)中，我們處理電磁場的六個復(fù)數(shù)場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中  ，傅立葉變換到k域定義為
 （2）
其中，我們使用符號
 (3)
方程2中積分的數(shù)值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N 2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要  的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。
為了進一步研究，我們用波前相位Ψ將  分解（跳過ω）為
 (4)
對于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴于從源場出發(fā)建模中恰當(dāng)?shù)南辔惶幚矸绞�。由定義  得分解結(jié)果
 (5)
類似地，我們可以得到
 (6)
其中波前相位  在k域上。應(yīng)該提到的是，根據(jù)方程 5與 在幾何光學(xué)上是已知的，然后  ，S為光程函數(shù)。我們想強調(diào)的是，方程 5的分解在物理光學(xué)中是更一般和純粹的數(shù)學(xué)方法，我們的目標(biāo)可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術(shù)十分感興趣，此時Ψ和 是可通過半解析傅里葉變換實現(xiàn)的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩(wěn)定相位的概念。
2 幾何傅里葉變換理論
穩(wěn)定相方法的應(yīng)用在光學(xué)中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設(shè)除臨界點附近以外  在通過z的平面內(nèi)具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據(jù)穩(wěn)定相位的概念，直接導(dǎo)致基本方程（跳過z )
 (7)
其中  方程7表示k和p之間的映射，我們假設(shè)這個映射是開放、雙射和連續(xù)的，這意味著它構(gòu)成了一個同胚，這是波前相位 平滑的數(shù)學(xué)表達式，并確保k域中的結(jié)果場可以在非等距網(wǎng)格上插值。在光學(xué)中，當(dāng)場不在苛性區(qū)時，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來
 (8)
由φ(p)的勒讓變換
 (9)
復(fù)函數(shù)
 (10)
權(quán)重因子  取決于φ(p)的二階導(dǎo)數(shù)，該結(jié)果通過將空間域中的場值映射到具有附加權(quán)重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執(zhí)行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經(jīng)開發(fā)了一個數(shù)值算法來執(zhí)行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數(shù)  ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數(shù)化。樣條插值的節(jié)點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數(shù)U(p)的采樣。一般來說，我們有  ，幾何傅里葉變換的數(shù)值主要基于 中的線性運算，因此速度非�？�；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免�？傊�(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非�？焖俚母道锶~變換，對于強波前相位來說就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個強大的三元組來處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實現(xiàn)，構(gòu)成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[3]，例如古伊相移就是用這個概念來研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠(yuǎn)場區(qū)域
我們來考慮平面z中的一個場，它可以通過幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來指定）進行變換。那么我們說該平面位于幾何區(qū)域（GFZ），否則場在其衍射區(qū)（DFZ） 。自然地，衍射場區(qū)域位于焦點區(qū)域附近，而GFZ出現(xiàn)在距焦點區(qū)域較遠(yuǎn)處。如果場進一步傳播，則可達到形成幾何區(qū)域子集的遠(yuǎn)場區(qū)。在幾何區(qū)域中，我們不限制波前相位 ，這意味著我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準(zhǔn)確的結(jié)果，則已經(jīng)達到遠(yuǎn)場區(qū)域，如表1中概括。對于一個衍射受限場，幾何場和遠(yuǎn)場區(qū)是相同的，應(yīng)該強調(diào)的是，在每個平面上，場的區(qū)域特征可以通過幾何傅里葉變換來研究，這構(gòu)成了一個純粹的數(shù)學(xué)概念。事實證明，在場的幾何區(qū)域中的物理光學(xué)建�？梢院芸斓貓�(zhí)行，因為數(shù)值上其主要涉及相對較小的波前相位樣本數(shù)量 。
表1 場域的定義
參考文獻
[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p. P2 (2017).
[2] J. J. Stamnes, Waves in focal regions. Propagation, diffraction and focusing of light, sound and water waves (Adam Hilger, Bristol and Boston, 1986).
[3] Fast physical optics software "Wyrowski VirtualLab Fusion", developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
[4] O. Baladron-Zorita and F. Wyrowski, "The Role of the Gouy Phase Anomaly in the Unification of the Geometric and Physical Models for the Propagation of Focussed Fields, " in Proc. DGaO, vol. 118, p. P3 (2017).
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