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電磁場的高效半解析傳播技術(shù)(3)

 

然而，在等式（8）中由高階相位函數(shù)引起的相位振蕩仍會隨著距離的增加能變大。Mansuripur[6]在其工作中已經(jīng)提到，通過對kz使用更方便的拋物線擬合方法，而不是如等式（6）中的泰勒展開，可以顯著減少高階的影響。根據(jù)抽樣原理[15]，我們不應(yīng)關(guān)注不是高階函數(shù)本身而是其梯度的最大絕對值。通過最小化其梯度最大值以達(dá)到最佳的數(shù)值效果。

 

基于這一思想，Mansuripur在其出版物[6]的附錄A中提出了一種先進(jìn)的擬合方法。然而，它只是優(yōu)化拋物線的斜率，而不是頂點(diǎn)偏移。此外，這項(xiàng)技術(shù)還需要解一個方程，包括不同指數(shù)的冪函數(shù)，這只能用數(shù)值方法來實(shí)現(xiàn)。

 

一種拋物線擬合方法可以得到更強(qiáng)大的分析方法，van der Avoort等人使用了這種方法[7]在完全不同的背景下。據(jù)此，球相函數(shù)可以寫成


相對于最大空間頻率Kmax的絕對值進(jìn)行歸一化。式（17）的兩個擬合參數(shù)由[7]得到


圖3(a)說明了用泰勒展開式的前兩個項(xiàng)（式（6）、式（17）的Avoort擬合和Mansuripur的擬合技術(shù)對kmax的一維例子的球面相位函數(shù)的擬合。相應(yīng)的高階相位函數(shù)；如圖3（b）所示。在這里，Avoort擬合的特征是最小化梯度的曲線，這使得所有高階相位函數(shù)的影響最小。因此，Avoort擬合能做到在公式（8）中僅需求對修改后的角譜進(jìn)行最小努力的采樣。請注意，在低空間頻率情況下的不完全Avoort擬合與采樣無關(guān)，因?yàn)樗�的梯度很小。與Mansuripur擬合相比，本文給出了Avoort擬合的解析表達(dá)式。


到目前為止，由式（3）的球形傳播核引起的球面相位項(xiàng)用式（21）進(jìn)行了解析處理。通常情況下，對于直徑較小，因而發(fā)散較大的場，球面?zhèn)鞑ズ说牟蓸诱贾鲗?dǎo)地位。接下來，我們轉(zhuǎn)向光場，在傳播之前，光場已經(jīng)有了一個很強(qiáng)的球面相位。例如，這出現(xiàn)在透鏡系統(tǒng)的出射光瞳中。在這種情況下，初始諧波場包含一個強(qiáng)球形相位，并且可以有效地利用半解析SPW傳播算子對球相項(xiàng)的數(shù)值傳播進(jìn)行反演。為此，公式（21）重新排列為

 

圖3 根據(jù)Taylor、Avoort和Mansuripur擬合球面相位函數(shù)kz。

（a）一維球函數(shù)及其相應(yīng)的拋物線擬合曲線。

（b）（b）高階相位函數(shù)，從球面函數(shù)中減去拋物線擬合函數(shù)。

 

A*B表示卷積積分



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